สารานุกรมไทย
สำหรับเยาวชน เมนู 6
เล่มที่ ๖
เรื่องที่ ๑ คณิตศาสตร์เบื้องต้น
เรื่องที่ ๒ ประวัติ และพัฒนาการเกี่ยวกับจำนวน
เรื่องที่ ๓ เซต
เรื่องที่ ๔ ตรรกวิทยา
เรื่องที่ ๕ ฟังก์ชัน
เรื่องที่ ๖ สมการ และอสมการ
เรื่องที่ ๗ จุด เส้น และผิวโค้ง
เรื่องที่ ๘ ระยะทาง
เรื่องที่ ๙ พื้นที่
เรื่องที่ ๑๐ ปริมาตร
เรื่องที่ ๑๑ สถิติ
เรื่องที่ ๑๒ ความน่าจะเป็น
เรื่องที่ ๑๓ เมตริก
เรื่องที่ ๑๔ กราฟ
เรื่องที่ ๑๕ คณิตศาสตร์ ธรรมชาติ และศิลปะ
รายชื่อผู้เขียน

สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ / เล่มที่ ๖ / จุด เส้นและผิวโค้ง / ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา
ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

มีจุดคงที่หรือจุดโฟกัสสองจุดเช่นเดียวกับวงรี ถ้าเราให้จุดๆ หนึ่งเคลื่อนที่ไป โดยมีผลต่างของระยะทางระหว่างจุดที่เคลื่อนที่ และจุดคงที่ ทั้งสองมีค่าคงที่แล้ว จุดที่เคลื่อนที่ไปนั้นจะขีดรอยเส้นโค้งขึ้นซึ่งเรียกว่า เส้นโค้งไฮเพอร์โบลา และจะมีเส้นโค้งเช่นนี้ถึงสองส่วนโดยไม่ติดต่อกันเลย
ตามรูป F และ F' เป็นจุดคงที่สองจุด P เป็นจุดที่กำลังเคลื่อนที่โดยมี คุณสมบัติว่า PF'- PF = ค่าคงที่ = K ทางเดินของจุด P จะเป็นส่วนหนึ่ง ของเส้นโค้งไฮเพอร์โบลา แต่ถ้าเราให้ P' เป็นจุดที่กำลังเคลื่อนที่ โดยมีคุณสมบัติว่า P'F - P'F' = ค่าคงที่ = K ทางเดินของจุด P ก็จะเป็นอีกส่วนหนึ่งของไฮเพอร์โบลาเดียวกัน
ถ้าลากเส้นตรงผ่าน F และ F' เส้นตรงนี้จะตัดส่วนทั้งสองของเส้นโค้ง ไฮเพอร์โบลาที่ A และ A' ซึ่งเราเรียกว่าจุดยอดของเส้นโค้ง เนื่องด้วย A และ A' ต่างก็อยู่บนเส้นโค้ง ดังนั้น AF'- AF = K = A'F - A'F'

จุด A และ A' ต่างก็เป็นจุดที่ และ AF = A'F' ดังนั้น K = AA' เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา แสดงว่า ผลต่างของระยะทางจากจุดโฟกัสไปยังจุดบนไฮเพอร์โบลานั้น เท่ากับระยะห่างระหว่างจุด ยอดทั้งสองของไฮเพอร์โบลา

เราอาจจะเขียนเส้นโค้งไฮเพอร์โบลาด้วยไม้บรรทัด เส้นด้าย และดินสอ ดังนี้ กำหนดจุดคงที่ F และ F' ไว้บนกระดาษ ใช้เส้นด้ายที่มีความยาวน้อยกว่า ความยาวของไม้บรรทัด และให้ผลต่างของความยาวของไม้บรรทัดและเส้นด้ายน้อยกว่าระยะทาง ระหว่าง F และ F' พอสมควร ใช้หมุดตรึงปลายข้างหนึ่งของ ไม้บรรทัดไว้ที่จุด F' ผูกปลายหนึ่งของเส้นด้ายไว้ที่จุด F และผูกอีกปลายหนึ่งไว้ที่ปลายอีกข้างหนึ่ง (ในรูปคือจุด B) ใช้ปลายดินสอดึงเส้นด้ายให้ตึง โดยให้เส้นด้ายส่วนหนึ่ง อยู่ในแนวของไม้บรรทัดที่ค่อยๆ หมุนไป ปลายดินสอก็จะขีดรอย เส้นโค้งไฮเพอร์โบลาส่วนหนึ่งซึ่งอยู่เหนือเส้น FF' การเขียนส่วนโค้งส่วนที่อยู่ใต้ FF' ก็เพียงแต่วางไม้บรรทัดตามเส้นประ (ดังในรูป)
การเขียนส่วนที่สองของเส้นโค้ง ก็เปลี่ยนเอาปลายไม้บรรทัดอีกปลาย หนึ่งให้หมุนรอบจุด F เอาเส้นด้ายผูกปลายไว้ที่ C และ F' และกระทำเช่นเดียวกันก็จะได้เส้นโค้งส่วนที่สอง
จากรูป PF' - PF = (PF'+ PB) - (PF + PB)
                            = CB - (PF + PB)
                            = ความยาวของไม้บรรทัด - ความยาวของด้าย
                            = ความยาวคงที่จำนวนหนึ่ง
                            = ระยะทางระหว่าง A และ A'

สมการทั่วไปของเส้นโค้งไฮเพอร์โบลามีแบบเป็น
x2/a2 - y2/b2 = 1
ถ้าสังเกตให้ดีจะเห็นว่า มีเส้นตรงสองเส้น ลากผ่านจุดกึ่งกลางของ FF' เส้นตรงสองเส้นนี้ จะไปพบเส้นโค้งไฮเพอร์โบลา ที่ระยะอนันต์ เส้นทั้งสองนี้มี ลักษณะคล้ายเป็นกรอบของเส้นโค้ง
กราฟของสมการ xy = 1 ก็เป็นไฮเพอร์โบลาอีกแบบหนึ่ง ซึ่งมีแกน x และ แกน y เป็นเส้นกรอบ และมีเส้นที่ทำมุม 45 องศา กับแกน x เป็นแกนของรูป
เส้นโค้งทั้งสี่ชนิดที่กล่าวมานี้คือ วงกลม วงรี พาราโบลาและไฮเพอร์โบลา เป็นเส้นโค้งที่ได้จากการตัดรูปกรวยมีฐานเป็นวงกลมด้วยพื้นราบ ในลักษณะต่างๆ กันดังนี้
ถ้าตัดด้วยพื้นราบซึ่งขนานกับฐาน จะได้รอยตัดเป็น วงกลม แต่ถ้าให้พื้น ราบเอียงทำมุมพอสมควรกับฐานจะได้ วงรี เมื่อพื้นราบเอียงจนขนานกับเส้นที่ลาก จากจุดยอดของกรวยไปยังฐาน จะได้รอยตัดเป็นรูป พาราโบลา แต่ถ้าผ่ากรวยออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันโดยผ่านจุดยอดจะได้ เส้นตรงคู่ ถ้าใช้กรวยขนาดเท่ากันสองกรวยวางให้จุดยอดต่อกัน (ดังรูป) แล้วตัดด้วยพื้นราบ ซึ่งตั้งได้ฉากกับฐานของกรวย จะได้รอยตัดเป็นรูป ไฮเพอร์โบลา สองส่วนอยู่บนกรวยแต่ละส่วน เราจึงถือว่า วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา และเส้นตรงคู่ เป็นเส้นโค้งจาก ภาคตัดของกรวย (conic sections)
หัวข้อก่อนหน้า หัวข้อถัดไป