สารานุกรมไทย
สำหรับเยาวชน
เมนู 6
|
สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ / เล่มที่ ๖ / ปริมาตร / ปริมาตรรูปทรงที่มีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยม
ปริมาตรรูปทรงที่มีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยม
ปริมาตรรูปทรงที่มีหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยม
(polyhedron)
รูปทรงเรขาคณิตที่มีผิวหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยม เช่น หีบเสื้อผ้า
กล่องสี่เหลี่ยม ตู้เก็บกับข้าว มีผิวหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
หมอนขวาน มีผิวหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามรูป
และหัวท้ายมีผิวหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม วิชาคณิตศาสตร์แบ่งรูปทรงนี้
ออกเป็นประเภทต่างๆ ดังนี้ |
 |
1.
รูปปริซึม
เป็นรูปทรงซึ่งมีผิวหน้าบนและล่าง เรียกว่า ฐาน ซึ่งอาจเป็นรูปสามเหลี่ยม
สี่เหลี่ยม หรือหลายเหลี่ยมก็ได้ ที่เท่ากันทุกประการ
ส่วนผิวด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
|
ถ้าผิวด้านข้างของรูปปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
และตั้งฉากกับฐานของปริซึมเราเรียกปริซึมชนิดนี้ว่า ปริซึมตรง
ถ้าผิวด้านข้างไม่ตั้งฉากกับฐาน เราเรียกว่า ปริซึมเอียง
กล่องสี่เหลี่ยมเป็นตัวอย่างของปริซึมตรงมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า
หมอนขวานเป็นตัวอย่างของปริซึมตรงมีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม
ปริซึมที่มีผิวหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเราเรียกว่า รูปลูกบาศก์
(cube) เช่น ลูกเต๋า เป็นต้น
ปริมาตรของปริซึมตรง
=
พื้นที่ฐาน x ความสูง
ถ้าปริซึมเอียงเราต้องหาความสูงซึ่งตั้งได้ฉากกับฐานของปริซึม
จากวิชาเรขาคณิต
เราทราบว่า ปริซึมสองรูปที่ตั้งอยู่บนฐาน ที่มีพื้นที่เท่ากัน
และมีความสูงเท่ากันจะมีปริมาตรเท่ากัน
ดังนั้นจึงได้สูตรการหาปริมาตรของปริซึมเท่ากับ พื้นที่ฐาน x ความสูง |
2. รูปพีระมิด
เป็นรูปทรงที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม
มีผิวด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยม มีจำนวนเท่ากับจำนวนด้านของฐาน
จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ไปพบกันที่จุดๆ เดียว
เรียกว่า ยอดของรูปพีระมิด พีระมิดที่มีจำนวนหน้าน้อยที่สุดคือ
พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม เป็นรูปทรงที่มีผิวหน้าสี่หน้า
เป็นรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด ภาษาอังกฤษเรียกว่า tetrahedron
|
 |
ถ้าลากเส้นตรงจากยอดของพีระมิดมาตั้งฉากกับฐาน
เส้นตั้งฉากนี้ผ่านจุดศูนย์ถ่วงของฐานด้วย
เราเรียกพีระมิดชนิดนี้ว่า พีระมิดตรง
ปริมาตรของรูปพีระมิดตรง
= 1/3 x พื้นที่ฐาน x ความสูง
พีระมิดในประเทศอียิปต์เป็นพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยม
การก่อสร้างพีระมิดเหล่านี้นับเป็นความมหัศจรรย์ของมนุษยชาติทีเดียว
รูปทรงที่มีผิวหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากันทุกหน้า มีเพียง 5
แบบเท่านั้น ดังรูปต่อไปนี้ |
 |
1. รูปเตตราเฮดรอน (tetrahedron)
ลักษณะผิวหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม
มีผิวหน้า (face) 4 หน้า จุดยอดมุม (vertex) 4 จุด เส้นขอบ (edge) 6 เส้น |
 |
2. รูปออคตาเฮดรอน (octahedron)
ลักษณะผิวหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม มีผิวหน้า
8 หน้า จุดยอดมุม 6 มุม เส้นขอบ 12 เส้น |
3. รูปอิโคซาเฮดรอน
(icosahedron)
ลักษณะผิวหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม
มีผิวหน้า 20 หน้า จุดยอดมุม 12 มุม เส้นขอบ 30 เส้น |
 |
4. รูปเหลี่ยมลูกบาศก์ (cube)
ลักษณะผิวหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยม มีผิวหน้า 6
หน้า จุดยอดมุม 8 มุม เส้นขอบ 12 เส้น |  |
 |
5. รูปโดเดคาเฮดรอน (dodecahedron)
ลักษณะผิวหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยม
มีผิวหน้า 12 หน้า จุดยอดมุม 20 มุม เส้นขอบ 30 เส้น
|
| รูปทรงที่มีผิวหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากันทุกหน้านั้น
มีเพียง 5 ชนิดเท่านั้น รูปทรงอื่นๆ
นั้นมีอีกมากมาย แต่จะไม่มีผิวหน้าเท่ากันเหมือนกันทุกหน้า รูปผลึกต่างๆ
ในธรรมชาติล้วนมีลักษณะเป็นทรงรูปเหลี่ยม อัญมณีต่างๆ
ที่ช่างได้เจียระไนแล้ว ก็ล้วนประดิษฐ์ให้เป็นรูปทรงเหลี่ยมทั้งนั้น
การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปทรงเหล่านี้ ก็อาจจะกระทำได้เช่นกัน |  |
จำนวนผิวหน้า จำนวนจุดยอดมุม และจำนวนเส้นขอบของรูปทรงที่มีหน้า
เป็นรูปหลายเหลี่ยมนี้ มีความเกี่ยวข้องกัน
ผู้ที่สังเกตเห็นความเกี่ยวข้องนี้ และ เขียนเป็นทฤษฎีคือ ออยเลอร์
ทฤษฎีของออยเลอร์กล่าวว่าถ้าให้ F, E และ V แทนจำนวนผิวหน้า จำนวนเส้นขอบ
และจำนวนจุดยอดมุม ของรูปทรง ตามลำดับ จะได้ความสัมพันธ์ว่า
E + 2 = F + V
เช่น รูปปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจะมีผิวหน้า 6 หน้า จุดยอดมุม 8
มุม และ เส้นขอบ 12 เส้น ดังนั้น F = 6 V = 8 E = 12 จะเห็นได้ว่า 12 + 2
= 6 + 8
ทฤษฎีของออยเลอร์นี้ใช้ได้กับรูปทรงที่มีผิวหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมทุกชนิด
ดังนั้น ถ้าเราทราบค่า F, E และ V เพียงสองค่าเท่านั้น
ก็จะหาค่าที่สามได้ทันที |
|
