สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ / เล่มที่ ๖ / คณิตศาสตร์ ธรรมชาติและศิลปะ / บทนำ

สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่าง ที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติ ที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของคณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมี คุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้ง แล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอ ดังรูป มุม A = มุม B = มุม C
	เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตามสับปะรด และตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย
ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่า เส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน ๕ เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน ๓ เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบ มีอัตราส่วนเป็น ๕ ต่อ ๘ สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามาเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น ๘ ต่อ ๑๓ เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น ๒๑ ต่อ ๓๔

ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของอันดับชนิดหนึ่งที่มีชื่อว่า อันดับฟิโบนักชี ที่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี แห่งเมืองปีซา (Pisa) ชื่อเลโอนาร์ โด ฟิโบนักชี (Leonardo Fibonacci ค.ศ. ๑๑๗๐-๑๒๔๐) เป็นผู้ค้นพบ
อันดับนั้นมีลักษณะดังนี้ ๑, ๑, ๒, ๓, ๕, ๘, ๑๓, ๒๑, ๓๔, ๕๕,... พจน์ที่หนึ่ง และพจน์ที่สองของอันดับเป็น ๑ พจน์ต่อๆ ไปได้จากผลบวกของสองพจน์ที่อยู่ติดกัน จะเห็นได้ว่า อัตราส่วนของเส้นโค้งของตาลูกสน ซึ่งเท่ากับ ๕ กับ ๘ อัตราส่วนของเส้นโค้งของตาสับปะรดที่เท่ากับ ๘ ต่อ ๑๓ และอัตราส่วนของเส้นโค้งของเกสรดอกทานตะวันที่เท่ากับ ๒๑ ต่อ ๓๔ นั้น ตัวเลขที่อยู่ในอัตราส่วนเหล่านี้เป็นพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกันในอันดับนี้ ตัวอย่างจากธรรมชาติที่เป็นไปตามอันดับฟิโบนักชี ได้แก่ การกำเนิดของผึ้ง
ความเจริญของพืช เช่น สาหร่าย ก็จะมีรูปแบบเช่นนี้ อันดับฟิโบนักชีนอกจากจะเกี่ยวข้องในวิชาชีววิทยาแล้ว ยังมีอิทธิพลในด้านศิลปะและสถาปัตยกรรม นั่นคือ อัตราส่วนระหว่าง พจน์ที่ และพจน์ที่หกของอันดับ ซึ่งได้แก่ ๕ ต่อ ๘ หรือ ๑ ต่อ ๑.๖ อัตราส่วนนี้มีชื่อว่า อัตราส่วนโกเดน (Golden Ratio) หรือส่วนแบ่งโกลเดน (Golden Section) เป็นที่ยอมรับกันว่า รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่อัตราส่วนของด้านกว้างและด้านยาวเป็น ๑ ต่อ ๑.๖ จะเป็นรูปที่มีสัดส่วนสวยงามที่สุด และมีชื่อว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าโกลเดน (Golden Rectangle)

ถ้าจะสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโกลเดนโดยใช้เรขาคณิตจะทำได้ดังนี้ เริ่มต้นสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD แล้วแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กันด้วย เส้นประ EF ใช้ F เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมียาวเท่าเส้นทะแยงมุม FC เขียนส่วนโค้ง CG ไปตัดด้าน AD ต่อออกไปที่ G จะได้ AG เป็นด้านยาวของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ลาก GH ตั้งฉากกับ AG พบ BC ต่อออกไปที่ H จะได้ GH เป็นด้านกว้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูป ABHG เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโกลเดน และรูป CDGH ก็เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโกลเดน

ตัวอย่างของอัตราส่วนโกลเดนที่ปรากฎในสถาปัตยกรรม เช่น