การพิจารณาค่าความจริง - สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ
 
สารานุกรมไทย
สำหรับเยาวชน  เมนู 6
เล่มที่ ๖
เรื่องที่ ๑ คณิตศาสตร์เบื้องต้น
เรื่องที่ ๒ ประวัติ และพัฒนาการเกี่ยวกับจำนวน
เรื่องที่ ๓ เซต
เรื่องที่ ๔ ตรรกวิทยา
เรื่องที่ ๕ ฟังก์ชัน
เรื่องที่ ๖ สมการ และอสมการ
เรื่องที่ ๗ จุด เส้น และผิวโค้ง
เรื่องที่ ๘ ระยะทาง
เรื่องที่ ๙ พื้นที่
เรื่องที่ ๑๐ ปริมาตร
เรื่องที่ ๑๑ สถิติ
เรื่องที่ ๑๒ ความน่าจะเป็น
เรื่องที่ ๑๓ เมตริก
เรื่องที่ ๑๔ กราฟ
เรื่องที่ ๑๕ คณิตศาสตร์ ธรรมชาติ และศิลปะ
รายชื่อผู้เขียน

สารานุกรมไทยสำหรับเยาวชนฯ / เล่มที่ ๖ / เรื่องที่ ๔ ตรรกวิทยา / การพิจารณาค่าความจริง

 การพิจารณาค่าความจริง
การพิจารณาค่าความจริง (Truth value)

ประพจน์เดิมที่ถูกเปลี่ยนแปลงไปนั้น แยกพิจารณาความเป็นจริง หรือ ความเป็นเท็จได้ดังนี้

1. ประพจน์ที่เกิดขึ้นเป็นคู่ปฏิเสธของประพจน์เดิม ประพจน์ชนิดนี้เกิด ขึ้นได้ด้วยการเติมคำ "ไม่"

ซึ่งเขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ " ~ " ข้างหน้าประพจน์ เดิม เช่น

ก แทน มีทุเรียนอยู่ในกระจาด
~ ก แทน ไม่มีทุเรียนอยู่ในกระจาด ซึ่งจะมีกรณีที่เกิดขึ้นได้แตกต่าง กัน 2 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1

ก เป็นจริง เนื่องจากมีทุเรียนอยู่ในกระจาดจริงๆ ดังนั้น ~ ก เป็นเท็จ
กรณีที่ 2

ก เป็นเท็จ (เนื่องจากไม่มีทุเรียนอยู่ในกระจาด) ดังนั้น ~ ก เป็นจริง
สรุปได้ว่า กรณีที่ ก เป็นจริง ~ ก จะเป็นเท็จ กรณีที่ ก เป็นเท็จ ~ ก จะเป็นจริง

เขียนแสดงด้วยตารางได้ดังนี้

~ ก
กรณีที่ 1 จริง เท็จ
กรณีที่ 2 เท็จ จริง

2. ประพจน์ที่เกิดขึ้นจากประพจน์สองประพจน์ ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม "และ"

ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ " ^ " ประพจน์ชนิดนี้เกิดขึ้นได้ โดยการ นำเอาประพจน์มาเชื่อมกันด้วย ""และ" เช่น

ก แทน "มีทุเรียนอยู่ในกระจาด"   
ข แทน "มีมั่งคุดอยู่ในกระจาด"

ประพจน์ที่เกิดขึ้นจากการเชื่อมประพจน์ ก,ข ด้วย "และ" คือ "มีทุเรียน และมังคุดอยู่ในกระจาด" เขียนแทนด้วย "ก ^ ข" จะมีกรณีที่เกิดขึ้นได้แตก ต่างกัน 4 กรณีดังนี้
กรณีที่ 1

ก เป็นจริง ข เป็นจริง
ประพจน์ "มีทุเรียนและมังคุดอยู่ ในกระจาด" เป็นจริง

กรณีที่ 1
กรณีที่ 2

ก เป็นจริง ข เป็นเท็จ
ประพจน์ "มีทุเรียนและมังคุดอยู่ ในกระจาด" เป็นเท็จ

กรณีที่ 2
กรณีที่ 3

ก เป็นเท็จ ข เป็นจริง
ประพจน์ "มีทุเรียนและมังคุดอยู่ ในกระจาด" เป็นเท็จ

กรณีที่ 3
กรณีที่ 4

ก เป็นเท็จ ข เป็นเท็จ
ประพจน์ "มีทุเรียนและมังคุดอยู่ ในกระจาด" เป็นเท็จ

กรณีที่ 4
สรุปได้ว่า กรณีที่ ก เป็นจริง ข เป็นจริง ประพจน์ ก ข เป็นจริง กรณีอื่นๆ นอกจากนี้ ก ^ ข เป็นเท็จ

เขียนแสดงด้วยตารางได้ดังนี้

ก ^
กรณีที่ 1 จริง จริง จริง
กรณีที่ 2 จริง เท็จ เท็จ
กรณีที่ 3 เท็จ จริง เท็จ
กรณีที่ 4 เท็จ เท็จ เท็จ

3. ประพจน์ที่เกิดจากประพจน์สองประพจน์เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อม "หรือ"

ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ " v " ประพจน์ชนิดนี้ เกิดขึ้นได้โดยการนำเอาประ พจน์ทั้งสองมาเชื่อมกันด้วย "หรือ"

สำหรับความหมายของคำ "หรือ" ในทางตรรกวิทยานั้น เมื่อเชื่อมประพจน์สองประพจน์ด้วย "หรือ" แล้วจะมีความหมายถึง ประพจน์ใดประพจน์หนึ่ง หรือทั้งสองประพจน์เลยก็ได้

ดังนั้นประพจน์ "มีทุเรียนหรือมังคุดอยู่ในกระจาด" จึงมีความหมายเช่น เดียวกับ "มีทุเรียนหรือมังคุดอย่างน้อยหนึ่งอย่างอยู่ในกระจาด" ให้

ก แทน "มีทุเรียนอยู่ในกระจาด"    
ข แทน "มีมังคุดอยู่ในกระจาด"

ประพจน์ที่เกิดขึ้นจากการเชื่อมประพจน์ ก,ข ด้วย "หรือ" คือ "มีทุเรียน หรือมังคุดอยู่ในกระจาด" ซึ่งเขียนแทนด้วย "ก v ข" ซึ่งจะมีกรณีที่เกิดขึ้นได้ แตกต่างกัน 4 กรณี ดังนี้

กรณีที่ 1
กรณีที่ 1

ก เป็นจริง   ข เป็นจริง  
ประพจน์ "มีทุเรียนหรือมังคุด อยู่ในกระจาด" (อย่างน้อยหนึ่งอย่าง)   เป็นจริง

กรณีที่ 2
กรณีที่ 2

ก เป็นจริง   ข เป็นเท็จ  
ประพจน์ "มีทุเรียนหรือมังคุด อยู่ในกระจาด" (อย่างน้อยหนึ่งอย่าง)   เป็นจริง

กรณีที่ 3
กรณีที่ 3

ก เป็นเท็จ   ข เป็นจริง  
ประพจน์ "มีทุเรียนหรือมังคุด อยู่ในกระจาด" (อย่างน้อยหนึ่งอย่าง)   เป็นจริง

กรณีที่ 4

กรณีที่ 4


ก เป็นเท็จ   ข เป็นเท็จ  
ประพจน์ "มีทุเรียนหรือมังคุด อยู่ในกระจาด" (อย่างน้อยหนึ่งอย่าง)   เป็นเท็จ
สรุปได้ว่า กรณีที่ ก เป็นเท็จ ข เป็นเท็จ ประพจน์ ก v ข จะเป็นเท็จ กรณีอื่นๆ นอกจากนี้ ก v  ข เป็นจริง

เขียนแสดงด้วยตารางได้ดังนี้

กรณีที่ 1 จริง จริง จริง
กรณีที่ 2 จริง เท็จ จริง
กรณีที่ 3 เท็จ จริง จริง
กรณีที่ 4 เท็จ เท็จ เท็จ

4. ประพจน์ที่เกิดขึ้นจากประพจน์สองประพจน์ที่เชื่อมด้วยตัวเชื่อม "ถ้า ...แล้วจะได้..."

ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "->"

ข้อความชนิดนี้เกิดขึ้นโดยการนำเอาประพจน์ทั้งสองมาเชื่อมกันด้วย "ถ้า ...แล้วจะได้..." โดยมีประพจน์หนึ่งเป็นเหต ุและอีกประพจน์หนึ่งเป็นผล เช่น ก แทน "นายแดงซื้อทุเรียน" ข แทน "นายแดงได้รับทุเรียน"
ประพจน์ที่เกิดขึ้นจากการเชื่อมประพจน์ ก, ข ด้วย "ถ้า...แล้วจะได้..." คือ "ถ้านายแดงซื้อทุเรียนแล้ว นายแดงจะได้รับทุเรียน"
ซึ่งเขียนแทนด้วย "ก -> ข" จะเห็นว่าประพจน์ ก เป็นเหตุ ประพจน์ ข เป็นผล ซึ่งจะมีกรณี ที่เกิดขึ้นได้แตกต่างกัน 4 กรณี ดังนี้

กรณีที่ 1


ก เป็นจริง (เพราะ ก แทน นายแดงซื้อทุเรียน) ข เป็นจริง (เพราะ ข แทน นายแดงได้รับทุเรียน)
ประพจน์ "ถ้านายแดงซื้อทุเรียนแล้วนายแดง จะได้รับทุเรียน" เป็นจริง

กรณีที่ 1
กรณีที่ 2

ก เป็นจริง (เมื่อนายแดงซื้อทุเรียน) ข เป็นเท็จ (เมื่อนายแดงไม่ได้รับทุเรียน)
ประพจน์ "ถ้านายแดงซื้อทุเรียนแล้ว นายแดงจะได้รับทุเรียน" เป็นเท็จ

กรณีที่ 2
กรณีที่ 3

ก เป็นเท็จ (เมื่อนายแดงไม่ซื้อทุเรียน) ข เป็นเท็จ (เมื่อนายแดงได้รับทุเรียน)
ประพจน์ "ถ้านายแดงซื้อทุเรียนแล้ว นายแดงจะได้รับทุเรียน" ยัง เป็นจริงอยู่

กรณีที่ 3
กรณีที่ 4

ก เป็นเท็จ (เมื่อนายแดงไม่ซื้อทุเรียน) ข เป็นเท็จ (เมื่อนายแดงไม่ได้รับทุเรียน)
ประพจน์ "ถ้านายแดงซื้อทุเรียนแล้ว นายแดงจะได้รับทุเรียน" ยัง เป็นจริงอยู่

กรณีที่ 4
จะเห็นว่ากรณีนี้นายแดงไม่ได้ซื้อทุเรียน นายแดงจึงไม่ได้รับทุเรียน
จะเห็นว่ากรณีที่ ก เป็นจริง ข เป็นเท็จ ข้อความ ก -> ข จะเป็นเท็จ กรณีอื่นๆ นอกจากนี้ ก ->ข เป็นจริง

เขียนแสดงด้วยตารางได้ดังนี้
กรณีที่ 1 จริง จริง จริง
กรณีที่ 2 จริง เท็จ เท็จ
กรณีที่ 3 เท็จ จริง จริง
กรณีที่ 4 เท็จ เท็จ จริง

5. ประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมสองประพจน์ด้วยตัวเชื่อม "ก็ต่อเมื่อ"

ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ "<->"

การเชื่อมประพจน์ ก กับ ข ด้วย <-> ซึ่งเขียนแทนด้วย ก <-> ข มีความ หมายว่า ก เป็นเหตุของ ข และในขณะเดียวกัน ข ก็เป็นเหตุของ ก ด้วย

ถ้าพูด ตามภาษาตรรกวิทยาก็คือ ก <-> ข มีความหมายเดียวกันกับ (ก <-> ข) ^ (ข <-> ก) เช่น

 ก แทน สมชายไปงานเย็นนี้
 ข แทน สมศรีไปงานเย็นนี้

ก <-> ข แทน ถ้าสมชายไปงานเย็นนี้แล้ว (จะได้) สมศรีไปงานเย็นนี้ด้วย
และถ้าสมศรีไปงานเย็นนี้แล้ว (จะได้) สมชายไปงานเย็นนี้ด้วย  

สมมุติเหตุการณ์ว่า สุพจน์รู้จักสมชายและสมศรี และสุพจน์ได้กล่าว ประพจน์ ก <-> ข เราจะพิจารณาคำกล่าว ก <-> ข ของสุพจน์ว่า เป็นจริงหรือ เท็จได้ 4 กรณีคือ
กรณีที่ 1

ก เป็นจริง เมื่อสมชายไปงานเย็นนี้ ข เป็นจริง เมื่อสมศรีไปงานเย็นนี้
จะได้ (ก -> ข), (ข -> ก) เป็นจริงทั้งคู่
แสดงว่า (ก -> ข) ^ (ข -> ก) เป็นจริง
ดังนั้น ก <-> ข เป็นจริง

กรณีที่ 1
กรณีที่ 2

ก เป็นจริง เมื่อสมชายไปงานเย็นนี้ ข เป็นเท็จ เมื่อสมศรีไม่ไปงานเย็นนี้
จะได้ (ก -> ข) เป็นเท็จ, (ข -> ก) เป็นจริง
แสดงว่า (ก -> ข) ^ (ข -> ก) เป็นเท็จ
ดังนั้น ก <-> ข เป็นเท็จ

กรณีที่ 1
กรณีที่ 3

ก เป็นเท็จ เมื่อสมชายไม่ไปงานเย็นนี้ ข เป็นจริง เมื่อสมศรีไปงานเย็นนี้
จะได้ (ก -> ข) เป็นจริง, (ข -> ก) เป็นเท็จ
แสดงว่า (ก -> ข) ^ (ข -> ก) เป็นเท็จ
ดังนั้น ก <-> ข เป็นเท็จ

กรณีที่ 3
กรณีที่ 4

ก เป็นเท็จ เมื่อสมชายไม่ไปงานเย็นนี้ ข เป็นเท็จ เมื่อสมศรีไม่ไปงานเย็นนี้
จะได้ (ก-> ข), (ก -> ข) เป็นจริงทั้งคู่
แสดงว่า (ก -> ข) ^ (ข -> ก) เป็นจริง
ดังนั้น ก <-> ข เป็นจริง

กรณีที่ 4
เขียนแสดงด้วยตารางได้ดังนี้

กรณีที่ 1จริงจริงจริง
กรณีที่ 2จริงเท็จเท็จ
กรณีที่ 3เท็จจริงเท็จ
กรณีที่ 4เท็จเท็จจริง
หัวข้อก่อนหน้า หัวข้อถัดไป