ขอบเขตความถี่ในการเกิดอุปราคา

            อุปราคาจะเกิดมีได้ก็ต่อเมื่อรัศมีเวกเตอร์อยู่ใกล้เส้นโนด แต่เส้นทั้งสองนี้ไม่จำเป็นต้องทับ กันทีเดียว ระยะเชิงมุมของดวงอาทิตย์ (หรือเงาของโลก) จากโนดที่ใกล้ซึ่งจะสอดคล้องกับการ มีอุปราคาเรียกว่า ขอบเขตอุปราคา จะเป็นจันทรุปราคาหรือสุริยุปราคา แล้วแต่กรณี

            ภาพล่าง แสดงส่วนหนึ่งของวิถีโคจรของโลก และของดวงจันทร์ ที่ปรากฏกับเงาของโลก และดวงจันทร์วันเพ็ญใน ๔ ตำแหน่ง ที่ A ทั้งดวงจันทร์และเงามีศูนย์กลางอยู่ที่โนดลง ที่ D ดวงจันทร์จดกับเงาพอดี และระยะ AD วัดตามสุริยวิถีเป็นขอบเขตจันทรุปราคา ค่าของขอบเขตนี้ เปลี่ยนแปลงตามระยะห่างของดวงจันทร์ ขนาดของเงาและความเอียงของระนาบวิถีโคจรของดวงจันทร์ เมื่อดวงจันทร์ผ่านเงาตรงจุด ซึ่งเส้นผ่านศูนย์กลางของเงาเท่ากับสามเท่าของดวงจันทร์ (๑°.๕) ระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของเงากับของดวงจันทร์ จึงเท่ากับประมาณ ๑° และเมื่อความเอียงของระนาบวิถีโคจรของโลกกับดวงจันทร์ มีค่าประมาณ ๕° ระยะห่าง AD ก็เท่ากับประมาณ ๑๒° แท้จริงขอบเขตนี้มีค่ามากสุด ๑๒°.๓ และ น้อยสุด ๙°.๕

            ดังนั้น การที่จะเกิดมีจันทรุปราคาได้ แม้แต่จะเป็นในสภาพที่เหมาะสมที่สุด ระยะห่างนับจาก โนดไปทั้งสองด้านอย่างมากรวมกัน ก็ยังน้อยกว่า ๒๕° ซึ่งภายในระยะนี้เป็นขณะที่ดวงอาทิตย์อยู่ ในตำแหน่งวันเพ็ญ ดวงอาทิตย์ตามที่เห็นเคลื่อนที่ไปตามสุริยวิถี ประมาณวันละหนึ่งองศา และจะผ่านบริเวณนี้ในเวลา ๒๕ วัน แต่เดือนทางจันทรคติเดือนหนึ่ง (คือ ระยะเวลาตั้งแต่วันเพ็ญมา บรรจบครบรอบวันเพ็ญถัดไป) เฉลี่ยนาน ๒๙.๕๓๐๕๙ วัน ดังนั้นดวงอาทิตย์จึงอาจผ่านโนดได้ โดยที่จะไม่เกิดจันทรุปราคาเลย ถ้าเกิดมีจันทรุปราคาขึ้นแม้แต่เพียงเข้าอยู่ในขอบเขตจันทรุปราคา จันทรุปราคานั้นจะเป็นจันทรุปราคาบางส่วน ก่อนที่ดวงจันทร์จะเต็มเป็นวันเพ็ญอีก ดวงอาทิตย์จะเคลื่อนที่ผ่านพ้นขอบเขตนั้นไปแล้ว ฉะนั้น ที่โนดหนึ่งๆ จึงอาจเกิดจันทรุปราคาขึ้นได้เพียงครั้งเดียวเท่านั้น ถ้าดวงอาทิตย์ผ่านที่โนดหนึ่งในเดือนมกราคม ดวงอาทิตย์จะผ่านอีกโนดหนึ่งใน เดือนมิถุนายน และกลับมาที่โนดเดิมในเดือนธันวาคม เพราะว่ามีการถดถอย (regression) ของโนด ไปทางตะวันตกของวิถีโคจร ปีหนึ่งประมาณ ๑๙° ระยะเวลาที่ดวงอาทิตย์ที่โนดหนึ่งเคลื่อนที่มา บรรจบครบรอบที่โนดนั้นเรียกว่า หนึ่งปีอุปราคา หนึ่งปีอุปราคานานเพียง ๓๔๖.๖๒ วันเท่านั้น ดังนั้น ในปีปฏิทินปีหนึ่งๆ จึงอาจมีจันทรุปราคาได้สามครั้ง และบางปีอาจไม่มีเลย

            ในที่บางแห่งบนโลก จะเห็นสุริยุปราคาได้เมื่อดวงจันทร์สัมผัสเขตบริเวณ AKHB (ดังแผน ภาพข้างล่าง) ซึ่งสกัดโลกกับดวงอาทิตย์ ระยะห่างจีโอเซนตริก (geocentric คิดศูนย์กลางของโลก เป็นหลัก) ของศูนย์กลางดวงอาทิตย์จากรัศมีเวกเตอร์ของโลกก็เท่ากับมุม MES ซึ่งเป็นผลบวกครึ่ง หนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางของดวงจันทร์ MER กับครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางของดวงอาทิตย์ SEA กับมุม AER มุม AER เท่ากับความแตกต่างระหว่าง ERK จีโอเซนตริกปารัลลักซ์ (geocentric parallax) ของดวงจันทร์ และ EAK ปารัลลักซ์ของดวงอาทิตย์ ครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง ของดวงจันทร์ และดวงอาทิตย์ ต่างเท่ากับประมาณ ๐°.๒๕ เมื่อปารัลลักซ์ของดวงจันทร์ขั้น สูงสุดเท่ากับประมาณ ๑° และของดวงอาทิตย์เท่ากับ ๘".๘ เท่านั้น มุม MES จึงมีค่าขั้นสูงสุด เท่ากับ ๑°.๕ เพราะฉะนั้นขอบเขตของสุริยุปราคาจึงมากกว่าขอบเขตจันทรุปราคาประมาณร้อยละ ๕๐

ปารัลลักซ์ของดาวเป็นระยะห่างเชิงมุมระหว่างจุด ๒ จุด ซึ่งเป็นความแตกต่างในทิศทาง ของดาว ตามที่เห็นจากจุด ๒ จุดนั้น


            พิสัยขอบเขตสุริยุปราคามีค่าจาก ๑๕°.๔ ถึง ๑๘°.๕ ฉะนั้นในบริเวณที่ยาวอย่างน้อย ๓๑° ดวงอาทิตย์จะอยู่ในเวลาเกิดสุริยุปราคาได้ และเมื่อต้องใช้เวลานานกว่าหนึ่งเดือนจันทรคติ ในการ ที่จะผ่านโค้งนี้ สุริยุปราคาจึงต้องเกิดมีอย่างแน่นอนหนึ่งครั้ง และอาจมีได้สองครั้งในการผ่านโนด หนึ่งๆ ถ้าเกิดสุริยุปราคา (บางส่วน) ในต้นเดือนมกราคมใกล้ขอบเขตสุริยุปราคาทางตะวันตกของ โนด สุริยุปราคาอาจเกิดขึ้นได้อีกครั้งหนึ่งในเดือนเดียวกันนั้น ในกลางปีอาจเกิดมีสุริยุปราคาขึ้นได้ ในทำนองเดียวกันนี้อีกโนดหนึ่ง และสุริยุปราคาที่ห้าอาจเกิดมีขึ้นได้ในเดือนธันวาคมในปีปฏิทิน เดียวกัน แต่จะเกิดมีขึ้นเป็นครั้งที่หกในปีเดียวกันนั้นไม่ได้ เพราะจะเป็นเวลา ๓๔๖.๖ + ๒๙.๕ = ๓๗๖.๑ วัน ภายหลังสุริยุปราคาครั้งแรกซึ่งจะอยู่ในเดือนมกราคมปีถัดไป จำนวนสุริยุปราคาในปี หนึ่งจึงมีได้อย่างมากเพียงห้าครั้งและอย่างน้อยที่สุดสองครั้ง

เมื่อมีสุริยุปราคาเกิดขึ้นสองครั้งในการผ่านโนดหนึ่งๆ จะเกิดจันทรุปราคาขึ้นครั้งหนึ่งใน ระหว่างเวลานั้นเสมอ จำนวนอุปราคาในปีหนึ่งๆ จึงอาจมีมากได้ถึงเจ็ด กล่าวคือเป็นจันทรุปราคา สองกับสุริยุปราคาห้า หรือจันทรุปราคาสามกับสุริยุปราคาสี่ แต่อย่างน้อยที่สุดในปีหนึ่งจะต้องมี อุปราคาสองครั้ง และทั้งสองครั้งเป็นสุริยุปราคา