เล่มที่ 6
จุด เส้น และผิวโค้ง
สามารถแชร์ได้ผ่าน :
พาราโบลา (Parabola)
เมื่อเราขว้างวัตถุขึ้นไปในอากาศ จะสังเกตได้ว่า เส้นทางของวัตถุที่เคลื่อนไปนั้นจะเป็นเส้นโค้ง ทั้งนี้ เพราะวัตถุนั้นถูกโลกดึงดูดลงมา วิถีของลูกกระสุนปืนใหญ่ที่ยิงออกไปก็จะเดินทางเป็นเส้นโค้งชนิดเดียวกันกับตัวอย่างข้างบน เราเรียกเส้นโค้งชนิดนี้ว่า พาราโบลา
ลองพิจารณาตัวเลขต่อไปนี้ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... ซึ่งได้จากการเอาเลขจำนวนเต็มคูณตัวเองคือ 0x0, 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7,... ถ้าแทนเลขจำนวนเต็มด้วย x และแทนจำนวนยก กำลังสองด้วย y จะได้
x = 0 1 2 3 4 5 6 7 8...
y = 0 1 4 9 16 25 36 49 64...
ความสัมพันธ์ของจำนวนสองชุดนี้ จะเขียนเป็นสมการได้ดังนี้
เมื่อลงจุด (x, y) บนกระดาษกราฟ แล้วโยงจุดต่างๆ ด้วยเส้นโค้งจะได้ ส่วนหนึ่งของพาราโบลา
เนื่องจาก (-2) x (-2) = 4 ดังนั้นสำหรับค่า y หนึ่งค่าจะเกิดจากค่า x สองค่า คือ ค่า x ที่เป็นบวกค่าหนึ่ง และค่าของ x ที่เป็นลบค่าหนึ่ง ซึ่งเมื่อ ต่างยกกำลังสองกำลังจะได้ค่า y เท่ากัน คือ
y = x2
เมื่อนำไปเขียนตารางค่า x และ y จะได้
x -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 64 49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 64
เมื่อลงจุดเหล่านี้บนกระดาษกราฟ จะได้พาราโบลา ถ้าพับรูปตามแกน y เส้นโค้งทั้งสองข้างของแกน y จะทับกันสนิท เราเรียกแกน y ว่า เป็นแกนของเส้นโค้ง และเส้นโค้งมีสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน y
จากหลักวิชาของแสง เราทราบว่า เมื่อแสงเดินทางมากระทบวัตถุสะท้อนแสง เช่น กระจกเงา มุมที่อยู่ระหว่างลำแสงตก และกระจกเงา จะเท่ากับ มุมที่อยู่ระหว่างลำแสงสะท้อน และกระจกเงา เรียกสั้นๆ ว่า มุมตกเท่ากับมุมสะท้อน ในกรณีที่วัตถุสะท้อนแสงเป็นผิวโค้ง (เรายังคงใช้กฎการสะท้อนแสงได้เช่นเดียวกัน) โดยลากเส้นตรงเส้นหนึ่งสัมผัสกับเส้นโค้งตรงจุดที่ลำแสงกระทบกับผิวโค้งนั้น
จากการทดลองพบว่า ถ้าวัตถุสะท้อนแสงเป็นผิวโค้งซึ่งมีรอยตัดเป็นพาราโบลา แล้วให้ลำแสงขนานกับแกนของเส้นโค้ง มากระทบพาราโบลานี้ ลำแสงที่สะท้อนออกจากเส้นโค้งนี้จะไปพบกันที่จุดเดียวกันบนแกนของเส้นโค้งนี้เสมอ เราเรียกจุดนี้ว่า จุดโฟกัส ของเส้นโค้งพาราโบลา หรือถ้าเราเอาดวงไฟไปวางไว้ตรงจุดโฟกัสนี้ ลำแสงที่สะท้อนออกจากพาราโบลา ก็จะพุ่งออกไปขนานกันกับแกนของรูปเสมอ โดยอาศัยคุณสมบัติพิเศษนี้เราจะเห็นได้ว่า โคมไฟฉาย โคมไฟรถยนต์ ส่วนมากจะมีลักษณะเป็นผิวโค้ง ที่เกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกน (ดูหัวข้อผิวโค้งที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง)
นื่องจากแสงเดินทางได้ระยะทางเท่ากันในเวลาเท่ากัน ฉะนั้นแสงที่เดิน ทางจากจุด A1, A2, A3,... ไปกระทบเส้นโค้งพาราโบลาที่จุด P1, P2, P3,... แล้วสะท้อนออกไปพบกันที่จุด F พร้อมกัน ดังนั้น
A1P1 + P1F = A2P2 + P2F = A3P3 + P3F = ...
ถ้าต่อ A1P1, A2P2, A3P3,... ออกไปจนถึงจุด B1, B2 B3,... โดยทำให้ P1B1 = P1F, P2B2 = P2F, P3B3 = P3F , ... เราจะพบว่า จุด B1, B2, B3, ... อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ซึ่งขนานกับแกน x และอยู่ใต้แกน x เท่ากับระยะ ที่จุด F อยู่เหนือแกน x นั่นคือพาราโบลาเกิดจากจุดซึ่งเคลื่อนที่ไปโดยมีระยะ ทางห่างจากจุดคงที่ (คือจุดโฟกัส) เท่ากับระยะทางจุดนั้น ห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง เราเรียกเส้นตรงคงที่นี้ว่า ไดเรกตริกซ์ (directrix) ของรูป และเรียกเส้นตรง ซึ่งตั้งได้ฉากกับไดเรกตริกซ์ และผ่านจุดโฟกัสว่า แกนของพาราโบลา
โดยอาศัยคุณสมบัตินี้ เราอาจนำมาประดิษฐ์เครื่องมือเขียนเส้นโค้งพารา โบลาได้ดังนี้ กำหนดเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่งและจุดคงที่จุดหนึ่ง บนกระดาษ โดยให้จุดคงที่นี้อยู่นอกเส้นตรงคงที่ ใช้ไม้บรรทัดอันหนึ่งวางทาบตามแนวเส้นตรงคงที่ และไม้ฉากรูปสามเหลี่ยมอีกอันหนึ่ง วางทาบกับไม้บรรทัดอันแรกตามรูป ใช้เส้นด้ายที่มีความยาวเท่ากับความยาวของไม้ฉากด้าน AB ผูกปลายหนึ่งของ ด้ายไว้ที่จุด A บนปลายของไม้ฉาก และผูกอีกปลายหนึ่งของด้ายไว้ที่จุดคงที่ F (เมื่อผูกปลายด้านทั้งสองแล้ว ให้เส้นด้ายมีความยาวเท่ากับด้าน AB พอดี) ใช้ ปลายดินสอวางที่เส้นด้ายตรงจุด P บนด้าน AB โดยให้เส้นด้ายตึงอยู่ตลอดเวลา ค่อยๆ เลื่อนไม้ฉากไปตามบรรทัด ปลายดินสอจะขีดเส้นโค้งพาราโบลาส่วน หนึ่งที่อยู่เหนือแกนของรูป ซึ่งเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดคงที่ และตั้งฉากกับเส้นตรงคงที่ การเขียนเส้นโค้งอีกส่วนหนึ่งก็กระทำคล้ายๆ กัน โดยวางไม้ฉากตามแนว ประในภาพ เราจะเห็นได้ว่า
PA + PF = PA + PB = AB
ดังนั้น PF = PB เส้นโค้งที่จะได้เป็นเส้นโค้งพาราโบลา
จากการทดลองปล่อยวัตถุให้ตกลงมาจากที่สูง วัตถุจะถูกแรงดึงดูดของ โลกดูดลงมาจนกระทบพื้นดิน ถ้า y เป็นระยะทาง ที่วัตถุตกลงมา (โดยวัดจากจุดที่ปล่อยวัตถุนั้น) ใช้เวลา t วินาที เราจะได้
y = 16t2
ถ้าใช้แกนนอนแทนเวลา t และแกนยืนแทนระยะทางที่วัตถุตกลงมา เขียนกราฟของ y = 16t2 จะได้พาราโบลา
ในการยิงปืนขึ้นสู่อากาศ โดยตั้งปืนให้ทำมุมขนานหนึ่งกับแนวราบ ตาม ทฤษฎีแล้วกระสุนปืนจะวิ่งไปเป็นแนวเส้นตรง แต่เนื่องด้วยแรงดึงดูดของโลก จะทำให้ระยะทางของกระสุนปืนลดลงมาในแนวดิ่ง ถ้าให้ y' เป็นระยะทาง ที่กระสุนปืนถูกโลกดูดลงมาในแนวดิ่ง ในเวลา t วินาที
ดังนั้นจะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง t และ y' ตามตาราง
t 0 1 2 3 4 5 ...
y' 0 16 64 144 256 400 ...
ฉะนั้นเส้นทางที่กระสุนปืนวิ่งไป จึงเป็นเส้นโค้งพาราโบลา และในที่สุด กระสุนปืนก็จะตกลงมากระทบผิวโลก ระยะทางในแนวราบวัดจากจุดที่ยิงปืนไป จนถึงจุดที่ลูกกระสุนกระทบพื้นดิน จะขึ้นอยู่กับขนาดของมุมที่ยิงด้วย (มุมที่ยิงได้ระยะทางในแนวราบไกลที่สุด คือมุม 45 องศา มุมยิงที่เป็นมุมฉากกับแนวราบ กระสุนปืนจะถูกแรงดึงดูดของโลก ดูดลงมากระทบศรีษะเราพอดี)
วิถีของจรวดที่ยิงจากจุดหนึ่งไปสู่อีกจุดหนึ่งบนผิวโลกก็เป็นเส้นโค้งพารา โบลา มนุษย์เราสามารถส่งจรวดให้ออกไปเดินทางรอบโลก หรือออกไปสู่สุริยจักรวาลได้ ก็โดยให้ความเร็วต้นของจรวด มากพอที่จะพ้นแรงดึงดูดของโลก (ประมาณ ความเร็ว 18,000 ไมล์ต่อชั่วโมง) และทำให้เส้นทางของจรวด เปลี่ยนจากเส้นโค้งรูปพาราโบลาเป็นรูปวงรี เพราะถ้ายังคงเป็นเส้นแบบรูปพาราโบลาแล้ว จรวดจะไม่สามารถกลับมาสู่โลกได้อีกเลย
น้ำพุที่มนุษย์ประดิษฐ์ขึ้นนั้น เราจะสังเกตเห็นได้ว่าสายน้ำพุที่พุ่งขึ้นไป และกลับตกลงมาที่ผิวน้ำอีกนั้น มีลักษณะเป็นเส้นโค้งพาราโบลาขนาดต่างๆ กัน ซึ่งทำให้แลดูสวยงามกว่าการทำให้น้ำพุ่งขึ้นไปและลงมาในแนวดิ่ง
หัวข้อก่อนหน้า
