เล่มที่ 6
จุด เส้น และผิวโค้ง
สามารถแชร์ได้ผ่าน :
ผิวโค้ง (Surface)
เมื่อเรามองดูสิ่งต่างๆ รอบตัว เช่น เครื่องใช้ และสิ่งประดิษฐ์ต่างๆ หรือของที่เกิดขึ้นเองโดยธรรมชาติ เช่น ผลไม้ ร่างกายของมนุษย์และสัตว์ ลำต้น ไม้ ฯลฯ เราจะเห็นได้ว่าส่วนใหญ่มักจะเป็นลักษณะผิวโค้ง
ผิวโค้งของเปลือกไข่
เป็นเส้นโค้งปิด
ในทางคณิตศาสตร์ถือว่า ผิวโค้งเกิดจากการที่เส้นตรงหรือเส้นโค้งเคลื่อน ที่ไปอย่างมีกฎเกณฑ์ เช่น ผิวของเปลือกไข่ หรือผิวของผลไม้เป็นตัวอย่างของผิว โค้งปิด ส่วนผิวโค้งรูปทรงกรวย ผิวของถังน้ำ ถ้วยแก้ว และภาชนะต่างๆ เป็น ผิวโค้งเปิด
ผิวโค้งที่เกิดจากการหมุน
เมื่อหมุนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารอบด้านๆ หนึ่ง จะได้รูปทรงเรียกว่าทรงกระ บอก ด้านที่อยู่กับที่ เรียกว่า แกนหมุน หรือแกนของทรงกระบอก ทรงกระบอกที่ได้มีแกนตั้งฉากกับฐาน
โดยทั่วไป ถ้าเราเคลื่อนเส้นตรงให้ขนานกับเส้นตรงที่เส้นหนึ่ง และให้ เส้นที่เคลื่อนที่นั้นสัมผัสเส้นโค้งซึ่งอยู่ในพื้นระนาบ (เส้นตรงนี้ต้องไม่อยู่ในพื้น ระนาบนี้ด้วย) ก็จะได้ผิวโค้งเรียกว่า ผิวทรงกระบอก ทั้งสิ้น ถ้าเส้นตรงคงที่ไม่ได้ตั้งฉากกับระนาบของเส้นโค้ง รูปทรงกระบอกที่ได้จะเป็นรูปทรงกระบอกเอียง เส้นโค้งที่ฐานอาจจะเป็นเส้นโค้งเปิดแบบพาราโบลา หรือแบบไฮเพอร์โบลาก็ได้ ผิวที่เกิดจากการเคลื่อนที่เส้นตรง ก็ยังคงเรียกว่า ผิวทรงกระบอก แต่ผิวโค้งทั้ง สองข้างจะกางออกไปไม่สิ้นสุด เราเรียกว่า ทรงกระบอกเปิด
ถ้าหมุนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รอบด้านที่ตั้งฉากด้านหนึ่งรูปที่ได้จะเป็น รูปกรวยมีฐานเป็นวงกลม ด้านที่อยู่กับที่เรียกว่าแกนของรูปกรวย จุดยอดหรือ ยอดกรวยจะอยู่บนแกนนี้ โดยทั่วไปแล้วแกนหมุนไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกับฐาน ความหมายทางคณิตศาสตร์ของรูปกรวยก็คือ รูปที่ได้จากการเคลื่อนเส้นตรงให้ ปลายหนึ่งสัมผัสเส้นโค้งที่อยู่ในพื้นราบ และอีกปลายหนึ่งอยู่คงที่ที่จุดๆ หนึ่ง นอกระนาบของเส้นโค้งนั้น
เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน ให้เส้นหนึ่งอยู่คงที่ และหมุนอีกเส้นหนึ่งรอบ เส้นที่อยู่คงที่ โดยให้มุมระหว่างเส้นตรงทั้งสองคงที่อยู่ตลอดเวลา รูปที่ได้จะเป็นรูปกรวยมีปลายสองทาง และมีจุดยอดรวมกันตรงจุดตัดของเส้นตรงทั้งสอง เมื่อใช้ระนาบตัดกรวยแบบนี้ จะได้รอยตัดเป็นวงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา หรือเส้นตรงคู่ดังกล่าวมาแล้วในตอนต้น
เมื่อหมุนวงกลมรอบเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่งจะได้รูปทรงกลม แต่ถ้าหมุนวงกลมรอบเส้นตรงเส้นหนึ่งที่อยู่นอกวงกลม แต่ยังคงอยู่ในระนาบเดียวกันกับวงกลมนั้น ก็จะได้รูปทรงเป็นแบบยางในของรถยนต์ หรือห่วงพวงชูชีพ
รูปทรงที่ได้จากการหมุนรูปวงรีรอบแกนยาว จะมีลักษณะคล้ายผลแตง ไทยหรือลูกรักบี้ (rugby) นักคณิตศาสตร์เรียกผิวโค้งรูปทรงนี้ว่า รูป อิลลิปซอยด์ (ellipsoid) ถ้าหากว่า หมุนรูปวงรีรอบแกนสั้นบ้าง จะได้รูป มีลักษณะอย่างไร ?
รูปอิลลิปซอยด์
ไฮเพอร์โบลามีสองส่วนไม่ติดต่อกัน ฉะนั้นเมื่อหมุนไฮเพอร์โบลารอบ เส้นตรงที่ตั้งได้ฉากกับแกนของรูป ที่จุดกึ่งกลางของแกน และในระนาบเดียวกับ ไฮเพอร์โบลา ผิวโค้งที่ได้จะมีเพียงชิ้นเดียวเรียกว่า รูปไฮเพอร์โบลอยด์ชนิดชิ้นเดียว (Hyperboloid of one sheet) มีลักษณะคอดตรงกลางและผายออกไปไม่สิ้น สุดทั้งสองปลาย นักออกแบบเครื่องประดับบ้านมักจะออกแบบเก้าอี้นั่งเล่นให้มี รูปร่างอย่างนี้ นอกจากนี้ เราอาจจะเห็นแจกัน และถ้วยแก้วบางชนิด ก็มีรูปทรง เช่นนี้ด้วย
ผิวโค้งไฮเพอร์โบลอยด์ชนิดสองชิ้น
การหมุนพาราโบลารอบแกนของรูป จะได้ผิวโค้งมีลักษณะรูปโคมไฟฉาย เรียกกันว่า ผิวโค้งพาราโบลอยด์ (paraboloid) ซึ่งมีคุณสมบัติทางแสงเป็นพิเศษ เมื่อวางจุดกำเนิดแสงสว่างไว้ตรงโฟกัส (ตรงจุด F) ของรูป แสงจะกระทบผิวโค้ง แล้วสะท้อนเป็นลำแสงขนานกับแกนของรูปไปจนถึงระยะอนันต์ และลำแสง ที่ส่องมาไกลๆ เช่น จากดวงอาทิตย์ เมื่อมากระทบผิวโค้งนี้ ก็จะมารวมกันที่จุด โฟกัสพอดี นักดาราศาสตร์ได้ประดิษฐ์กล้องโทรทัศน์โดยใช้ผิวโค้งพาราโบลอยด์ เป็นผิวโค้งที่รับแสง หรือรับคลื่นวิทยุจากดวงดาว ทำให้มนุษย์สามารถทราบความลี้ลับของจักรวาล
ผิวเครื่องใช้ต่างๆ ภายในบ้าน เช่น แก้ว ถังน้ำ กระโถน หม้อหุงต้ม อาหาร หลอดไฟ ฯลฯ มีลักษณะเป็นผิวโค้งที่เกิดจากการหมุน ระฆังก็มีลักษณะเป็นผิวโค้งที่เกิดจากการหมุนเช่นกัน
ผิวโค้งที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของเส้นตรง
เราอาจจะสร้างผิวโค้งจากเส้นตรงโดยใช้หลักการที่คล้ายกับการเขียนเส้น โค้งจากเส้นตรงในระนาบได้ดังนี้
ใช้ไม้อัดหรือแผ่นพลาสติกสามแผ่นรูปจัตุรัสขนาดกว้างด้านละ 6 นิ้ว เจาะรูไม้อัดนี้เป็นแถวๆ ให้แต่ละแถวห่างกัน 1/4 นิ้ว และในแต่ละแถวให้รูปห่างกัน 1/4 นิ้ว เช่นเดียวกัน ประกอบไม้อัดหรือแผ่นพลาสติกทั้งสามแผ่นนี้ให้ตั้ง ฉากกันและกัน ใช้ด้ายไนลอนสีสอดขึ้นจากรูแถวริมนอกที่สุดของแผ่นไม้อัด แผ่นล่าง (รูหมายเลข 9) แล้วนำไปสอดที่รูปล่างสุดของแถว ก ในแผ่นตั้ง ดึง ด้ายให้ตึงแล้วสอดเส้นด้ายออกทางรูที่สองนับจากข้างล่างในแถว ข ของแผ่นตั้ง ดึงด้ายให้ตึง แล้วกลับมาสอดลงในแถวนอกที่สุด ในรูปถัดไปทางซ้ายมือของรูแรก (รูหมายเลข 8) และนำด้ายสอดขึ้นจากรูหมายเลข 7 แล้วกลับไปสอดเข้ารูที่ 3 นับจากข้างล่างของแถว ค ของแผ่นตั้ง ทำเช่นนี้เรื่อยไปจนครบทุกรูของแถว นอกของแผ่นล่าง และทุกรูในแนวเส้นทแยงมุมของแผ่นตั้ง ชุดของเส้นตรงเหล่า นี้จะเรียงกันไปจนดูคล้ายผิวโค้ง ถ้าเจาะรูไม้อัดหรือแผ่นพลาสติก ให้ถี่มากขึ้น เท่าใด ลักษณะของเส้นด้ายก็จะเป็นผิวโค้งมากขึ้น
โดยใช้หลักการเดียวกันนี้ เราอาจนำไปสร้างแบบแสดงลักษณะของผิวโค้ง ที่เกิดจากเส้นตรงหลายชุด ด้วยการสอดเส้นด้ายให้ออกจากรูปในแถวหนึ่ง ของไม้แบบแผ่นล่าง แล้วสอดเส้นด้ายเข้าในแถวทแยงมุมของไม้แบบแผ่นตั้ง ที่อยู่ ทางซ้ายหรือทางขวาก็ได้ ผู้อ่านจะสังเกตวิธีการได้จากรูปต่อไปนี้ และอาจจะนำไปประดิษฐ์แบบอื่นๆ ต่อไปอีกได้
เมื่อสังเกตธรรมชาติรอบๆ ตัวเรา จะแลเห็นว่า ส่วนใหญ่มีลักษณะเป็นผิวโค้ง และมีขอบเป็นเส้นโค้ง เราจะแลเห็นความคล้ายคลึงกัน ระหว่างผิวโค้ง และเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์กับทางธรรมชาติ ธรรมชาติสร้างสิ่งต่างๆ อย่างมีระเบียบแลดูสวยงามคล้ายกับมีกฎเกณฑ์กำหนดไว้ การสร้างเส้นโค้ง และผิวโค้ง ทางคณิตศาสตร์ก็เป็นไปอย่างมีกฎเกณฑ์ และวิธีการ ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ เราสามารถหาความยาวของเส้นโค้ง และหาเนื้อที่ของผิวโค้งได้ ตลอดจน สามารถหาปริมาตรรูปทรงที่ผิวโค้งนั้นห่อหุ้มอยู่ มนุษย์สามารถนำผลจากการศึกษาในเรื่องเหล่านี้ไปใช้ประโยชน์ ทั้งในทางวิทยาศาสตร์ ทางศิลปะ ทางการ ออกแบบ ทำให้ผลิตผลทางหัตถกรรม และศิลปกรรมดูงดงามยิ่งขึ้น
หัวข้อก่อนหน้า
