มูลนิธิโครงการสารานุกรมไทยสำหรับเยาวชน

การเคลื่อนที่ของจุดซึ่งอยู่บนวงกลม

ถ้าเราทำเครื่องหมายไว้แห่งหนึ่งบนขอบนอกของล้อรถ เช่น ล้อรถจักรยาน เมื่อรถวิ่งไปบนพื้นราบ เราจะสังเกตเห็นว่า เครื่องหมายที่ทำไว้นั้น ก็จะเคลื่อนที่ไปด้วย เมื่อตรวจสอบทางเดินของเครื่องหมายที่ทำไว้จะเห็นว่า เป็นเส้นโค้งชนิดหนึ่ง ในทางคณิตศาสตร์เรียกเส้นโค้งนี้ว่า ไซคลอยด์ (cycloid) มีลักษณะคล้ายคลื่น ฉะนั้นไซคลอยด์ก็คือ ทางเดินของจุดๆ หนึ่งบนวงกลมที่กลิ้งไปบนเส้นตรง

ถ้าหงายเส้นโค้งไซคลอยด์ลง และให้ M เป็นจุดต่ำที่สุดของเส้นโค้งนี้ คุณสมบัติพิเศษของไซคลอยด์ก็คือ เมื่อเอาลูกบอลวางไว้ที่จุด P ซึ่งอยู่ที่ส่วน ใดๆ ของเส้นโค้งนี้ก็ตาม เมื่อปล่อยลูกบอลให้กลิ้งลงมาตามเส้นโค้ง ลูกบอล จะมาถึงจุด M ในเวลาเท่ากันหมด

ท่านอาจจะลองคิดต่อไปว่า ถ้า P1 เป็นจุดๆ หนึ่งบนรัศมี OP เมื่อวง กลมกลิ้งไปบนเส้นตรง ทางเดินของจุด P1 จะมีลักษณะอย่างไร ถ้า P2 เป็นจุดๆ หนึ่งบนรัศมี OP ที่ต่อออกไป ทางเดินของจุด P2 จะเป็นอย่างไรเมื่อกลิ้งวงกลม ไปบนเส้นตรง

ทดลองโดยเอาเหรียญบาทมาสองอัน วางเหรียญหนึ่งไว้ให้อยู่กับที่ ทำเครื่องหมายไว้หนึ่งแห่งที่ขอบของเหรียญที่สอง แล้วค่อยๆ กลิ้งเหรียญที่สอง รอบเหรียญที่วางไว้อยู่กับที่จนรอบ ทางเดินของเครื่องหมายบนขอบเหรียญที่สอง จะเป็นเส้นโค้งมีลักษณะ (ดังรูป) ดูคล้ายกับรูปหัวใจ ทางคณิตศาสตร์เรียกเส้น โค้งชนิดนี้ว่า คาร์ดีออยด์ (cardioid) ซึ่งเป็นทางเดินของจุดๆ หนึ่งบนวงกลมที่ กลิ้งรอบวงกลมที่อยู่กับที่อีกวงหนึ่ง

คราวนี้ลองให้วงกลมที่กลิ้งไปนั้น มีรัศมีน้อยกว่ารัศมีของวงกลมที่อยู่กับที่ จุดที่ทำเครื่องหมายบนวงกลมวงนอก จะอยู่บนวงกลมวงในมากกว่าหนึ่งแห่ง ทำให้ทางเดินเป็นส่วนโค้ง (arch) มากกว่าหนึ่งส่วน เช่น ถ้าวงกลมวงนอกมีรัศมี เท่ากับครึ่งหนึ่งของรัศมีของวงกลมวงใน จะได้เส้นโค้งเป็นส่วนโค้งสองส่วน ถ้าวงกลมวงนอกมีรัศมีเพียงเศษหนึ่งส่วน n ของรัศมีวงกลมวงใน ก็จะได้ส่วนโค้ง n ส่วนรอบวงกลมวงใน เราเรียกเส้นโค้งชนิดนี้ว่า เอพิไซคลอยด์ (Epicycloid) เส้นโค้งคาร์ดิออยด์เป็นกรณีเฉพาะ ของเส้นโค้งเอพิไซคลอยด์

ถ้าเอาวงกลมเล็กไปกลิ้งภายในวงกลมใหญ่ซึ่งอยู่กับที่ จุดที่อยู่บนวงกลมเล็กจุดหนึ่ง ก็จะขีดเส้นโค้งขึ้นภายในวงกลมใหญ่ เราเรียกทางเดินของจุดเช่นนี้ว่า ไฮโพไซคลอยด์ (Hypocycloid) จำนวนเส้นโค้งภายในวงกลมใหญ่จะมี n ส่วนโค้ง เมื่อวงกลมใหญ่มีรัศมีเป็น n เท่าของรัศมีวงกลมเล็ก

ท่านอาจจะลองเขียนเส้นโค้งไฮโพไซคลอยด์ เมื่อวงกลมใหญ่มีรัศมีเป็นสองเท่า และสามเท่าของวงกลมเล็กดูบ้างว่า เส้นโค้งมีลักษณะอย่างไร การเขียนเส้นโค้งโดยใช้เส้นรังสีและมุม เขียนวงกลมรัศมี 2 1/4 นิ้ว จากจุดศูนย์ กลางเขียนเส้นรังสี 18 เส้นให้ทำมุมเท่ากับ 20 องศาเท่าๆ กันโดยใช้ไม้โพรแทรกเตอร์ (ไม้ที่มีสเกลแบ่งมุม) ให้ตัวเลขรังสีเริ่มจาก 0 ถึง 17 แล้วต่อไปเป็น 18, 19, 20,...ตามรูป กำหนดจุดบนเส้นรังสีเหล่านี้ จุดแรกบนรังสีที่หนึ่งอยู่ห่าง จากจุดศูนย์กลาง 1/8 นิ้ว จุดที่สองบนรังสีที่สองอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 2/8 นิ้ว จุดที่สามบนรังสีที่สามอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 3/8 นิ้ว ทำเช่นนี้ไปจนถึงรังสีที่ 18 จุดจะอยู่บนวงกลมพอดี ถ้าทำต่อไปโดยให้ความยาวของรังสีเพิ่มขึ้นครั้งละ 1/8 นิ้ว แล้วโยงจุดเหล่านี้เข้าด้วยกัน จะได้เส้นโค้งเป็น รูปก้นหอย (spiral)

จุดต่างๆ บนเส้นโค้งก้นหอยสร้างจากหลักเกณฑ์ "ความยาวของรังสี OP เป็นปฏิภาคโดยตรงกับขนาดของมุมที่ OP ทำกับเส้น OX" เขียนเป็นสมการดังนี้

เมื่อ a เป็นค่าคงที่ เราเรียกเส้นโค้งแบบนี้ว่า เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส (Spiral of Archimedes)

ถ้าลองกลับไปดูความยาวของเส้นรังสี ที่วัดจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดบน เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส จะเห็นว่า ความยาวจะเพิ่มขึ้นเป็นความก้าวหน้า เลขคณิต ดังนี้