การคูณเมตริกกับเมตริก
เราสามารถหาผลคูณของสองเมตริก ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ถ้า | A | = | (1 2 3) | เป็นเมตริก 1 x 3 |
และ | B | = | | 4 | | เป็นเมตริก 3 x 1 |
5 |
6 |
เราจะได้ผลคูณของ A และ B คือ AB โดย
| AB | = | (1 2 3) | | 4 | |
| | | | 5 |
| | | | 6 |
| | = | ((1)(4) + (2)(5) + (3)(6)) |
| | = | (32) | ฉะนั้น AB เป็นเมตริก 1 x 1 |
ถ้า | A | = | (1 2 3) เป็นเมตริก 1 x 3 |
| C | = | | 4 7 | | เป็นเมตริก 3 x 2 |
| | | 5 8 |
| | | 6 9 |
ผลคูณของ A และ C เป็นเมตริก AC โดย
AC | = | (1 2 3) | | | | 4 | 7 | | |
| | | | | | 5 | 8 |
| | | | | | 6 | 9 |
| = | ((1)(4)+(2)(5)+(3)(6) | | (1)(7)+(2)(8)+(3)(9) |
| = | (32 50) | | เป็นเมตริก 1 x 2 |
ถ้า D | = | | 1 2 | | เป็นเมตริก 2 x 2 |
| | 3 4 | | | | | | |
E | = | | 5 7 | | เป็นเมตริก 2 x 2 |
| | 6 8 | |
ผลคูณของ D และ E เป็นเมตริก DE โดย
จะเห็นว่า
A เป็นเมตริก 1 x 3 B เป็นเมตริก 3 x 1 หาผลคูณได้ และผลคูณ AB เป็นเมตริก 1 x 1
A เป็นเมตริก 1 x 3 C เป็นเมตริก 3 x 2 หาผลคูณได้ และผลคูณ AC เป็นเมตริก 1 x 2
D เป็นเมตริก 2 x 2 E เป็นเมตริก 2 x 2 หาผลคูณได้ และผลคูณ DE เป็นเมตริก 2 x 2
โดยทั่วไป
เมื่อ c11 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + ... + a1p bp1 สมาชิกของ ci j ใดๆ จะมาจากสมาชิกแถวที่ i ของ A และสดมภ์ที่ j ของ B ดังต่อไปนี้ คือ
เมื่อ ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + ... + aip bpj แทนสมาชิกใดๆ ของ AB การหาเมตริกผลคูณ AB จะหาได้ก็ต่อเมื่อ จำนวนสดมภ์ของ A (คือ p) เท่ากับจำนวนแถวของ B เช่น
แต่หาผลคูณ BA ไม่ได้ เนื่องจากจำนวนสดมภ์ ของ B (คือ 1) ไม่เท่ากับจำนวนแถวของ A (คือ 3) จึงทำให้ หาสมาชิกในตำแหน่งต่างๆ ของ BA ไม่ได้ ดังเช่น
แถวที่ 1 ของ B มีสมาชิกเพียงหนึ่งตัว คือ 2
สดมภ์ที่ 1 ของ A มีสมาชิก 3 ตัว คือ 4 5 6 จึงจับคู่ตัวตั้งกับตัวคูณไม่ได้ครบทุกตำแหน่ง