การคูณเมตริกกับเมตริก

เราสามารถหาผลคูณของสองเมตริก ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ถ้า	A	=	(1 2 3)		เป็นเมตริก 1 x 3
และ	B	=		4		เป็นเมตริก 3 x 1
				5
				6

เราจะได้ผลคูณของ A และ B คือ AB โดย

	AB	=	(1 2 3)			4
						5
						6
		=	((1)(4) + (2)(5) + (3)(6))
		=	(32)	ฉะนั้น AB เป็นเมตริก 1 x 1
ถ้า	A	=	(1 2 3) เป็นเมตริก 1 x 3
	C	=		4 7		เป็นเมตริก 3 x 2
				5 8
				6 9

ผลคูณของ A และ C เป็นเมตริก AC โดย

AC	=	(1 2 3)					4	7
							5	8
							6	9
	=	((1)(4)+(2)(5)+(3)(6)					(1)(7)+(2)(8)+(3)(9)
	=	(32 50)			เป็นเมตริก 1 x 2
ถ้า D	=		1 2		เป็นเมตริก 2 x 2
			3 4
E	=		5 7		เป็นเมตริก 2 x 2
			6 8

ผลคูณของ D และ E เป็นเมตริก DE โดย

DE	=		1 2			5	7
			3 4			6	8
	=		(1)(5) + (2)(6)				(1)(7) + (2)(8)
			(3)(5) + (4)(6)				(3)(7) + (4)(8)
	=		17	23
			39	53

จะเห็นว่า

A เป็นเมตริก 1 x 3 B เป็นเมตริก 3 x 1 หาผลคูณได้ และผลคูณ AB เป็นเมตริก 1 x 1
A เป็นเมตริก 1 x 3 C เป็นเมตริก 3 x 2 หาผลคูณได้ และผลคูณ AC เป็นเมตริก 1 x 2
D เป็นเมตริก 2 x 2 E เป็นเมตริก 2 x 2 หาผลคูณได้ และผลคูณ DE เป็นเมตริก 2 x 2

โดยทั่วไป


เมื่อ c11 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 + ... + a1p bp1 สมาชิกของ ci j ใดๆ จะมาจากสมาชิกแถวที่ i ของ A และสดมภ์ที่ j ของ B ดังต่อไปนี้ คือ


เมื่อ ci j = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + ... + aip bpj แทนสมาชิกใดๆ ของ AB การหาเมตริกผลคูณ AB จะหาได้ก็ต่อเมื่อ จำนวนสดมภ์ของ A (คือ p) เท่ากับจำนวนแถวของ B เช่น


แต่หาผลคูณ BA ไม่ได้ เนื่องจากจำนวนสดมภ์ ของ B (คือ 1) ไม่เท่ากับจำนวนแถวของ A (คือ 3) จึงทำให้ หาสมาชิกในตำแหน่งต่างๆ ของ BA ไม่ได้ ดังเช่น


แถวที่ 1 ของ B มีสมาชิกเพียงหนึ่งตัว คือ 2
สดมภ์ที่ 1 ของ A มีสมาชิก 3 ตัว คือ 4 5 6 จึงจับคู่ตัวตั้งกับตัวคูณไม่ได้ครบทุกตำแหน่ง