เล่มที่ 6
เมตริก
สามารถแชร์ได้ผ่าน :
คุณสมบัติของการคุณเมตริก
ถ้า A,B,C เป็นเมตริก ซึ่งทำให้การคูณที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้เป็นไปได้ จะพบว่า การคูณเมตริกมีคุณสมบัติบางประการต่างจากการคูณจำนวนดังจะกล่าวต่อไปนี้ คือ
1. โดยทั่วๆ ไปแล้วผลคูณ AB ไม่เท่ากับ BA คือ การคูณไม่เป็นไปตามกฎของการสลับที่ ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้
A และ B เป็นเมตริกจัตุรัส 2 x 2 ทั้งคู่ คือ
ในกรณีที่ A และ B เป็นเมตริกจัตุรัส n x n ด้วยกัน ผลคูณ AB และ BA จะเป็นไปได้เสมอ แต่อาจจะมีค่าไม่เท่ากัน ยกเว้นเมื่อ A และ B เป็นเมตริกบางชนิด ซึ่งผู้อ่านจะศึกษาเพิ่มเติมได้ในตำราเกี่ยวกับเมตริก หรือในกรณีที่ A เป็นเมตริกเอกลักษณ์ I(nxn) จะได้ผลคูณ IB = BI = B เสมอ เช่น
เมตริกเอกลักษณ์ I จึงมีคุณสมบัติเป็นเอกลักษณ์ของการคูณ เช่นเดียวกับ เลข "1" ในระบบจำนวน
2. A(BC) = (AB)C นั่นคือ การคูณระหว่างเมตริกเป็นไปตามกฎการจัดหมู่ 3. A(B +C) = AB + AC และ (B + C) A = BA + CA นั่นคือ การคูณเมตริกเป็นไปตามกฎของการกระจาย 4. ถ้า AB = 0 (เมตริกศูนย์) A หรือ B ไม่จำเป็นต้องเป็นเมตริกศูนย์ แต่ในการคูณจำนวน x และ y ถ้า xy = 0 แล้วจะต้องได้ว่า x หรือ y เป็นศูนย์ ดังตัวอย่างผลคูณที่เป็นเมตริกศูนย์
ความรู้เกี่ยวกับเมตริกเป็นรากฐานที่สำคัญยิ่งในคณิตศาสตร์ และในสาขาวิชาอื่นๆ ทั้งทางวิทยาศาสตร์ และ วิศวกรรมศาสตร์ เป็นพื้นความรู้ที่ให้ประโยชน์มาก ในที่นี้จะพูดถึงประโยชน์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนสมการและจำนวนตัวแปร เท่ากัน เป็นตัวอย่าง
ถ้า A,B,C เป็นเมตริก ซึ่งทำให้การคูณที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้เป็นไปได้ จะพบว่า การคูณเมตริกมีคุณสมบัติบางประการต่างจากการคูณจำนวนดังจะกล่าวต่อไปนี้ คือ
1. โดยทั่วๆ ไปแล้วผลคูณ AB ไม่เท่ากับ BA คือ การคูณไม่เป็นไปตามกฎของการสลับที่ ดังจะเห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้
A และ B เป็นเมตริกจัตุรัส 2 x 2 ทั้งคู่ คือ
| ถ้า | A | = |  | 2 | 1 |  | B | = | | 1 | 1 | | ||||||
| 3 | 2 | 2 | 1 | |||||||||||||||
| AB | = | | 2 | 1 | | | 1 | 1 | | = | | 4 | 3 | | ||||
| 3 | 2 | 2 | 1 | 7 | 5 | |||||||||||||
| แต่ | BA | = | | 1 | 1 | | | 2 | 1 | | = | | 5 | 3 | | ไม่เท่ากับ AB | ||
| 2 | 1 | 3 | 2 | 7 | 4 | |||||||||||||
ในกรณีที่ A และ B เป็นเมตริกจัตุรัส n x n ด้วยกัน ผลคูณ AB และ BA จะเป็นไปได้เสมอ แต่อาจจะมีค่าไม่เท่ากัน ยกเว้นเมื่อ A และ B เป็นเมตริกบางชนิด ซึ่งผู้อ่านจะศึกษาเพิ่มเติมได้ในตำราเกี่ยวกับเมตริก หรือในกรณีที่ A เป็นเมตริกเอกลักษณ์ I(nxn) จะได้ผลคูณ IB = BI = B เสมอ เช่น
I | = |  | 1 0 0 |  | , | B | = | | 1 2 3 | |
| 0 1 0 | 4 5 6 | |||||||||
| 0 0 1 | 7 8 9 | |||||||||
| จะได้ว่า IB = BI = B | ||||||||||
เมตริกเอกลักษณ์ I จึงมีคุณสมบัติเป็นเอกลักษณ์ของการคูณ เช่นเดียวกับ เลข "1" ในระบบจำนวน
| ถ้า A = | | -2 | 1 | | และ B = | | 2 3 | |
2 | -1 | 4 6 | ||||||
| ทั้ง A และ B ไม่ใช่เมตริกศูนย์ เมื่อหาผลคูณ AB จะได้ | ||||||||
| AB = | | -2 | 1 | | | 2 3 | | = | | 0 0 | |
2 | -1 | 4 6 | 0 0 | ||||||||
| เป็นเมตริกศูนย์ | |||||||||||
ความรู้เกี่ยวกับเมตริกเป็นรากฐานที่สำคัญยิ่งในคณิตศาสตร์ และในสาขาวิชาอื่นๆ ทั้งทางวิทยาศาสตร์ และ วิศวกรรมศาสตร์ เป็นพื้นความรู้ที่ให้ประโยชน์มาก ในที่นี้จะพูดถึงประโยชน์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีจำนวนสมการและจำนวนตัวแปร เท่ากัน เป็นตัวอย่าง
หัวข้อก่อนหน้า
