ดีเทอร์มิแนนต์

สำหรับแต่ละเมตริกจัตุรัส จะมีจำนวนจริงจำนวนหนึ่ง ซึ่งหาได้จากสมาชิกของเมตริกนั้นๆ เราเรียกจำนวน จริงนี้ว่า ดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริก และใช้สัญลักษณ์ดังนี้ คือ

ถ้า A = (ai j) เป็นเมตริก n x n


และจะเป็นดีเทอร์มิแนนต์ที่มีอันดับ n เช่น


วิธีคำนวณค่าของดีเทอร์มิแนนต์วิธีหนึ่ง คือ ใช้โคแฟกเตอร์ของสมาชิกของเมตริก กล่าวคือ ถ้า A = (ai j) เป็นเมตริก n x n


ถ้าตัดสมาชิกแถว i และสดมภ์ที่ j (คือ แถว และสดมภ์ที่มี ai j นั่นเอง) ออก จะเหลือดีเทอร์มิแนนต์ที่มี n-1 แถว และ n-1 สดมภ์เป็นดีเทอร์มิแนนต์อันดับ n-1 คือ



สำหรับดีเทอร์มิแนนต์อันดับสาม มีวิธีคำนวณง่ายๆ โดยเขียนสดมภ์ที่ 1,2 ต่อท้ายสดมภ์ที่ 3 แล้วคูณตามลูกศร โดยผลคูณของพจน์ในแถวลูกศรชี้ขึ้นเป็น ลบ พจน์ในแนวลูกศรชี้ลงเป็น บวก


อ่านค่าของดีเทอร์มิแนนต์ได้เป็น


ถ้าเมตริกจัตุรัส A มีเมตริกจัตุรัส B ทำให้ผลคูณ AB = BA = I เราเรียกเมตริก B ว่า เมตริกผกผัน ของ A (ในทำนองเดียวกัน A ก็เป็นเมตริกผกผันของ B ด้วย)


โดยลักษณะการเท่ากันของเมตริก สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันเท่ากัน ดังนั้นจะได้สมการต่อไปนี้เป็นจริง


จะเห็นว่าถ้าเมตริกใหญ่ว่า 3x3 การหาเมตริกผกผันโดยวิธีข้างต้นนี้จะยิ่งไม่สะดวกมากขึ้น มีวิธีที่เหมาะคือ หาในรูปของเมตริกผูกผัน (adjoint matrix) หรือหาโดยใช้การแปลงเบื้องต้น (elementary transformations) ซึ่งผู้สนใจจะศึกษาได้จากตำราเกี่ยวกับเมตริก หรือจากตำราคณิตศาสตร์ชั้นสูง

ต่อไปนี้จะแสดงถึงวิธีการแก้ระบบสมการ โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์และเมตริก

ตัวอย่างที่ 1


ถ้าหากค่า x1 เศษ เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริก ซึ่งได้จากการแทนเมตริกข้างขวาของสมการ ลงไปในสดมภ์ที่หนึ่ง ของเมตริกสัมประสิทธิ์ ส่วนเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกสัมประสิทธิ์

หาค่า x2 เศษ เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริก ซึ่งได้จากการแทนเมตริกข้างขวาของสมการในสดมภ์ที่สอง ของเมตริกสัมประสิทธิ์ ส่วน เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกสัมประสิทธิ์

ตัวอย่างที่ 2


ถ้าระบบสมการมีตัวแปรมากกว่าสามตัว จะใช้วิธีนี้ไม่สะดวก จึงนิยมใช้วิธีหาเมตริกผกผัน ซึ่งอาจจะใช้เครื่องคำนวณช่วย

ต่อไปนี้จะแสดงวิธีแก้ระบบสมการ โดยใช้วิธีเมตริกผกผัน

ตัวอย่างที่ 3


เงื่อนไขในการที่สมการนี้จะมีคำตอบ หรือหาค่า X ได้ คือ A ต้องมีเมตริกผกผันหรือดีเทอร์มิแนนต์ของ A ไม่เป็นศูนย์ ให้ C เป็นเมตริกผกผันของ A และ C = (ci j)3x3 จาก (2) ได้ CAX = CB

หรือ IX = CB (เพราะว่า CA = I = AC)

X = CB


หมายเหตุ ถ้ามีตัวแปร n ตัว และมี n สมการ สามารถเขียนคำตอบได้ดังนี้


ตัวอย่างที่ 4


(ดูวิธีหาเมตริกผกผัน) เพราะฉะนั้น CAX = CB


ดังนั้น x1 = -3, x2 = 2

ตัวอย่างที่ 5


สำหรับระบบสมการที่มีจำนวนตัวแปร และจำนวนสมการไม่เท่ากัน เช่น มี m สมการ และตัวไม่ทราบค่า n ตัว จะมีเมตริกสัมประสิทธิ์เป็นเมตริก m x n ซึ่งไม่ใช่เมตริกจัตุรัสและไม่มีเมตริกผกผัน เราจะแก้ระบบสมการเหล่านี้ โดยอาศัยวิธีการแปลงเบื้องต้น ซึ่งผู้สนใจจะศึกษาได้ในตำราเกี่ยวกับเมตริกดังกล่าวมาแล้ว ในที่นี้จะกล่าวถึงความรู้พื้นฐานเพียงเท่านี้