เล่มที่ 6
สมการและอสมการ
สามารถแชร์ได้ผ่าน :
สมการบางสมการอาจจะไม่มีคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "มีจำนวนเต็มจำนวนใดบ้างซึ่งคูณกับ 2 แล้วได้ 3" ก็ต้องตอบว่า "ไม่มีจำนวนเต็มเช่นนั้น" เราพูดได้อีกอย่างหนึ่งว่า สมการ 2x = 3 ไม่มีคำตอบซึ่งเป็นจำนวนเต็ม
เราทราบว่าจำนวนจริงใดๆ ก็ตามเมื่อคูณกับตัวเองแล้วย่อมไม่ได้จำนวนลบ ดังนั้น เราพูดว่า สมการ X x X = -1 ซึ่งเขียนได้ว่า x2 = -1 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
สมการบางสมการอาจมีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ เช่น ถ้าถามว่า "จำนวนใดคูณกับตัวเองแล้วได้ 1" ก็ต้องตอบว่า "-1 และ 1" หรือพูดว่า สมการ x2 = 1 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ -1 และ 1
สมการที่มีตัวแปรเดียวและเลขชี้กำลัง* ของตัวแปรเป็น 1 เราเรียกว่า สมการเชิงเส้น (Linear equation) ที่มีตัวแปรเดียว ดังนั้น 2x - 5 = 1, 6 + 3x = 2, 3t + ,1 - 2y = 2.7, 2z - 10 = 0 ล้วนเป็นตัวอย่างของสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรเดียว
* เราเขียน 5 ได้ว่า 51 และเรียก 1 ว่า เลขชี้กำลัง
เราเขียน 5 x 5 ได้ว่า 52 และเรียก 2 ว่า เเลขชี้กำลัง
เราเขียน 5 x 5 x 5 ได้ว่า 53 และเรียก 3 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
ให้ X แทนจำนวนใดๆ ก็ตาม เราเขียน
X ได้ว่า X1 และเรียก 1 ว่า เลขชี้กำลัง
เราเขียน X x X ได้ว่า X2 และเรียก 2 ว่า เลขชี้กำลัง
เราเขียน X x X x X ได้ว่า X3 และเรียก 3 ว่า เลขชี้กำลัง
เราเขียน X x X x X x X x X ได้ว่า X5 และเรียก 5 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
เลขชี้กำลังไม่จำเป็นจำนวนเต็มบวก แต่เราจะไม่กล่าวถึงในที่นี้
การแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรตัวเดียว เรามีหลักการใหญ่ๆ ดังนี้ คือ
(1) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่งมาบวก หรือลบทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการ ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม
(2) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่ง ซึ่งไม่ใช่ 0 มาคูณ หรือหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = เราจะได้สมการซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการเดิม
สมมุติว่าเราต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5 เราใช้หลักทั้งสองข้อดังนี้
2x + 3 = 5
2x + = 2 นำ 3 มาลบทั้งสองข้าง
x = 1 นำ 2 มาหารทั้งสองข้าง
จากหลักทั้งสองข้อ เราได้ว่าสมการทั้งสามนี้มีคำตอบเหมือนกัน ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x + 3 = 5
หลักข้อ (2) ห้ามนำ 0 มาหารทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = ในสมการ เพราะการหารด้วย 0 ไม่มีความหมาย และหลักเดียวกันนี้ ห้ามนำ 0 มาคูณทั้งสองข้างของเครื่องหมาย = ในสมการ เพราะสมการใหม่จะมีคำตอบต่างจากสมการเดิม ตัวอย่างเช่น
สมการ 2x = 6 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียว ได้แก่ 3 แต่สมการ 2X x 0 = 6x0 นั้น มีจำนวนจริงทุกจำนวนเป็นคำตอบ เนื่องจากจำนวนจริงใดๆ ก็ตามคูณกับ 0 แล้วย่อมได้ 0
ควรสังเกตว่า การพูดกว้างๆ ว่า "ในการแก้สมการนั้น ถ้าทำอย่างไรทางซ้าย (ของเครื่องหมาย =) แล้วให้ทำอย่างเดียวกันทางขวา (ของเครื่องหมาย =)" นั้น ใช้ไม่ได้ เพราะสมการใหม่อาจมีคำตอบต่างจากสมการเดิมได้ เช่นสมการ x = 3 กับสมการ x2 = 32 ซึ่งได้จากการ "ยกกำลังสองทั้งสองข้าง" มีคำตอบต่างกัน สมการ x = 3 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ 3 ส่วนสมการ x2 = 32 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ -3 กับ 3
สมการ x-1 = 0 กับสมการ x (x-1) = 0 ก็มีคำตอบต่างกัน สมการที่สองได้จากการคูณ x ทั้งสองข้าง (ของเครื่องหมาย =) ในสมการแรก หรือจะพูดว่าสมการแรกได้จากการหารด้วย x ทั้งสองข้างในสมการที่สองก็ได้ สมการ x-1 = 0 มีคำตอบเพียงคำตอบเดียวคือ 1 ส่วนสมการ x (x-1) = 0 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ 0 และ 1
สมการอาจจะมีตัวแปรกี่ตัวแปรก็ได้ เช่น โจทย์ที่ว่า "จงหาจำนวนสองจำนวนซึ่งมีผลต่างเป็น 3" อาจจะเขียนได้ว่า "จงแก้สมการ x-y = 3" สมการ x-y = 3 เป็นสมการที่มีตัวแปร 2 ตัว สมการนี้มีคำตอบมากมาย เช่น x = 4 และ y = 1 หรือ x = 3 และ y = 0 หรือ x = และ y = -3 เป็นต้น คำตอบเหล่านี้เรานิยมเขียนในรูปคู่ลำดับว่า (4,1), (3,0) , ( -3 ) จำนวนแรกในคู่ลำดับแทนค่า x จำนวนหลังแทนค่า y ดังนั้น (4,1) เป็นคำตอบหนึ่งๆ ของสมการ x - y = 3 แต่ (1,4) ไม่ใช่คำตอบของสมการนี้
ทุกจุดบนเส้นตรงในกราฟ เป็นคำตอบของสมการ x-y=3
เนื่องจากสมการ x - y = 3 นี้ มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงอยู่มากมาย ไม่สามารถแจกแจงให้ดูได้หมด วิธีที่จะแสดงคำตอบได้วิธีหนึ่ง คือ การเขียนกราฟ
สมการที่มีตัวแปรเดียวก็สามารถแก้ได้โดยวิธีกราฟ เช่น ถ้าต้องการแก้ สมการ 2x + 3 = 5 ซึ่งมีคำตอบเหมือนสมการ 2x - 2 = 0 (นำ 5 มาลบทั้งสองข้าง ของเครื่องหมาย =) เราเพิ่มตัวแปร y ขึ้นมาอีกหนึ่งตัว โดยกำหนดให้ 2x -2 = y
สมการนี้เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัว คำตอบของสมการ 2x - 2 = y คือทุกจุดที่อยู่บนเส้นตรงสีแดง ค่าของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของ สมการ 2x-2 =0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัดแกนนอน เส้นตรงนี้ ตัดแกนนอนที่จุด (1,0)
เราจึงสรุปได้ว่า 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x - 2 = 0 หรือสมการ 2x + 3 = 5
สมการ x2 - 2x = 3 มีคำตอบเหมือนสมการ x2 - 2x - 3 = 0 เราแก้ได้โดย เขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = y (เส้นโค้งสีน้ำเงินในรูป) ค่า ของ x ที่ทำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตัดแกนนอนได้แก่จุด (-1,0) และ (3,0)
เราจึงสรุปว่า -1 กับ 3 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 หรือ x2 - 2x = 3
ในการแก้สมการ x2 - 2x + 2 = 0 เราเขียนกราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x + 2 = y จะพบว่ากราฟนั้นไม่ตัดแกนนอน แสดงว่า จุด (x,0) ไม่อยู่ บนกราฟ ดังนั้น (x,0) ไม่ใช่คำตอบของสมการ x2 - 2x + 2 = y นั่นคือ ไม่ว่า x จะแทนจำนวนจริงใดๆ ก็ตาม x2 - 2x + 2 ไม่เท่ากับ 0 เราจึงสรุปได้ว่า สมการ x2 -2x + 2 = 0 ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
